RWI in den Medien

"Einzelinformationen bringen einen vom Weg ab"

Diagramme und Kurven sollen uns den Weg durch die Corona-Pandemie weisen. Wie gut sind die Modelle? Fünf Forschende aus vier Disziplinen über die Grenzen der Statistik.

Zeit online vom 28.03.2020

Die Corona-Krise ist die Zeit der Prognosen. Und doch bleibt ungewiss, wie die Pandemie genau weitergehen wird. Was sind gute Modelle, was nicht? Wo stößt Statistik an ihre Grenzen – genau wie eine Gesellschaft, die daraus ihr Handeln ableiten will? Eine Datenanalytikerin, zwei Wirtschaftsforscher, ein Psychologe und ein Statistiker haben sich dazu Gedanken gemacht. 

Bei Pandemien wächst die Zahl Infizierter üblicherweise exponentiell, da jede und jeder Infizierte andere ansteckt, die im Sinne eines Schneeballeffekts wiederum andere infizieren. Exponentielles Wachstum ist somit durch konstante Wachstumsraten und nicht nur durch konstante absolute Zuwächse gekennzeichnet. Es führt daher unweigerlich dazu, dass sich die Zahl der nachweislich Infizierten in einem bestimmten Zeitraum verdoppelt. Ist dieser Zeitraum kurz, wird die absolute Anzahl rasch sehr groß, unabhängig davon, ob man von einer kleinen oder von einer etwas größeren Ausgangsbasis aus startet.

Kennt man die Eigenschaften einer Krankheit, kann man ziemlich genau prognostizieren, wie sich eine Pandmie entwickeln wird. Dabei geht es vor allem um drei Dinge: Erstens ist entscheidend, wie viele andere ein Infizierter typischerweise ansteckt (der Reproduktionsfaktor). Er hängt nicht nur von der Art des Virus ab, sondern auch von unserem Kontaktverhalten. Zweitens ist für diesen Reproduktionsfaktor zentral, wie lange eine infizierte Person ansteckend ist. Drittens beeinflusst es die mögliche Zahl der Neuinfektionen, ob jemand, der die Krankheit durchgestanden hat, immun ist oder nicht.

Auf Basis einer Einschätzung dieser Faktoren kann man die exponentielle Ausbreitung einer Pandemie, wie jetzt im Falle von Corona, in der deutschen Bevölkerung recht verlässlich abschätzen. Wir beobachten seit dem 15. März eine tägliche Wachstumsrate der Infizierten von circa 23 Prozent, das heißt, die Zahl der registrierten Infizierten verdoppelt sich alle drei Tage. Verwendet man allein zur Verdeutlichung ein exponentielles Wachstumsmodell und startet man mit 6.000 Infizierten (in etwa die Anzahl am 15. März), wären innerhalb von 14 Tagen knapp 109.000 Personen infiziert, nach 30 Tagen nahezu drei Millionen. Es ist wiederum offensichtlich, dass diese Entwicklung die die Gesundheitsversorgung schnell überlasten dürfte, selbst wenn nur ein sehr geringer Anteil an Infizierten schwer bis lebensbedrohlich krank wird, sodass sie auf einer Intensivstation behandelt werden müssen. So wären beispielsweise bei 1,5 Million Infizierten und einem Anteil schwerer Verläufe von nur drei Prozent die in Deutschland verfügbaren Intensivkapazitäten schon bei Weitem ausgereizt, selbst wenn man dort keinerlei andere Schwerkranke zu behandeln hätte. Eine Rationierung von Intensivkapazitäten wäre dann nicht mehr zu vermeiden. Im Klartext hieße das, viele Todesfälle hinnehmen zu müssen.

Entscheidend: der Zeitraum bis zur Verdopplung

Somit wird, solange es keinen Impfstoff gibt, der Reproduktionsfaktor zur entscheidenden Stellschraube einer jeden denkbaren Abwehrstrategie. Sobald dieser Faktor auf den Wert 1 sinkt, wird die Anzahl der Neuinfektionen bei dem dann erreichten Stand stabilisiert. Fällt der Reproduktionsfaktor unter 1, geht die Zahl der Neuinfektionen wieder zurück. Ließen sich einzelne Fälle von Infizierten sofort trennscharf erkennen, dann wäre es vergleichsweise leicht zu organisieren, dass diese Infizierten isoliert und ihre direkten Kontaktpersonen unter Quarantäne gestellt werden. Der Reproduktionsfaktor würde dann voraussichtlich rasch sinken, es könnte eine (wachsame) Form der Normalität einkehren.

"Wir betreten notgedrungen Neuland"

Im Augenblick steht diese Lösung aber nicht im Ansatz zur Verfügung. Die entsprechenden Testkapazitäten und die Verfahren zur Umsetzung dieser Strategie müssen erst aufgebaut werden (eine entsprechende Onlinepetition von "Unstatistikerin" Katharina Schüller, um dies zu beschleunigen, findet sich hier). Somit bleibt im Augenblick nur die wenig trennscharfe und für unser Wirtschafts- und Gesellschaftsleben schmerzhafte Strategie, die Ausbreitung von Covid-19 zu verlangsamen, indem die Zahl der sozialen Kontakte drastisch reduziert wird. Wenn die Bevölkerung dabei diszipliniert mitwirkt, könnte das die Ausbreitung stark bremsen. In obigem Beispiel würde eine Halbierung der täglichen Wachstumsrate auf zwölf Prozent lediglich zu knapp 30.000 Infizierten nach 14 Tagen und 180.000 Infizierten nach 30 Tagen führen. Je konsistenter wir alle uns die Hände waschen, Distanz halten und andere hygienische Maßnahmen ergreifen, desto geringer wird die Wachstumsrate.

Das alles sind natürlich nur Beispielrechnungen. Aktuell gibt es zu allen drei oben genannten Faktoren – Reproduktionsfaktor, Ansteckungsdauer und Immunität – im Falle von Covid-19 keine endgültig gesicherten Informationen. Wir betreten damit notgedrungen Neuland. Die Statistik, die Epidemiologie und virologische Expertise sind gleichermaßen nötig, um aus den neu eintreffenden Daten zumindest grobe Schätzungen in Echtzeit abzuleiten und so die Ausbreitung der Pandemie und die Wirksamkeit verschiedener Maßnahmen zu beurteilen. Wie viele Neuinfektionen in den kommenden Tagen zu erwarten sind, können selbst Expertinnen und Experten aufgrund der unsicheren Datenlage nicht verlässlich prognostizieren. Dazu sind die Spannbreiten, innerhalb derer die unbekannten Parameter liegen können, viel zu groß.

Und doch reichen diese Beispielrechnungen völlig aus, um ein entschlossenes politisches Handeln zu begründen, das der Eindämmung der Neuinfektionen aktuell die absolute Priorität zuweist. So zeigen Modellrechnungen sowohl des Robert Koch-Instituts als auch der Deutschen Gesellschaft für Epidemiologie, dass es unerheblich ist, ob die Reproduktionsrate nun in der Realität bei 2,5 oder bei 1,5 liegt: Wird der Reproduktionsfaktor nicht rasch in Richtung des Wertes 1 gedrängt, wird das deutsche Gesundheitssystem innerhalb kürzester Zeit kollabieren. Es geht dann nur noch um die Frage nach der Anzahl der Wochen, bis dieser Punkt erreicht ist. Dies kann nur jetzt noch verhindert werden.

Die Dynamik von Infektionskrankheiten weist zwischen der ursprünglichen Ansteckung und der Ausprägung von Symptomen üblicherweise eine Inkubationszeit auf. Die Inkubationszeit verhindert nicht nur, dass man die Infizierten ohne ein ausgeprägtes System des umfassenden Testens frühzeitig erkennen und isolieren kann. Sondern sie führt ebenfalls unweigerlich dazu, dass die Wirksamkeit von Maßnahmen, die heute eingeleitet werden, erst in einigen Tagen oder gar Wochen sichtbar werden – selbst dann, wenn sie sofort die angestrebte Wirkung entfalten. Vor allem kann man aus nach wie vor steigenden Fallzahlen nicht auf eine mangelnde Wirksamkeit der jetzt angestrengten Maßnahmen schließen. Erschwerend kommt hinzu, dass man die Schlussfolgerungen in der aktuellen Situation auf besonders unsicheres Datenmaterial gründen muss. So hat die Zahl der getesteten Infizierten nur bedingt etwas mit der Zahl der tatsächlichen Infizierten zu tun, weil Menschen mit wenigen oder gar keinen Symptomen bislang in den seltensten Fällen getestet werden. Erst mit der Entwicklung schnellerer Testverfahren, die vor wenigen Tagen erstmals in Deutschland zum Einsatz kamen, wird es möglich werden, systematisch zu testen. Ändert sich nun aufgrund neuer Testverfahren der Anteil der bestätigten Fälle an allen Infizierten (bestehend aus bestätigten Fällen und nicht erfassten Fällen), dann können die gemeldeten Fallzahlen steigen, ohne dass dem eine beschleunigte Erkrankungsdynamik zugrunde liegt. Die beobachteten Fallzahlen lassen daher nur bedingt Rückschlüsse darauf zu, ob die in einem Prognosemodell verwendeten Annahmen über die Ansteckungsraten korrekt waren oder nicht.

Deshalb unterliegen Mutmaßungen wie im Focus zu den gestiegenen Fallzahlen der vergangenen Tage vermutlich einem Fehlschluss. Durch die Inkubationszeit, Test- und Auswertungsdauer und andere Verzögerungen gehen die heutigen Fallzahlen auf Infektionen von vor fünf bis zehn Tagen zurück. Darüber hinaus stehen inzwischen schnellere Testverfahren zur Verfügung. Mit gutem Grund lässt sich annehmen, dass damit die Test- und Auswertungsdauer in den darauffolgenden Tagen beschleunigt wurde und allein deshalb die Zahl der bestätigten Fälle vorübergehend ansteigt.

Eine präzise Schätzung der Sterblichkeit ist derzeit nahezu unmöglich

Zudem werden in der Berichterstattung immer wieder die aktuellen Maßnahmen den Fallzahlen gegenübergestellt. Ob die verschärften Maßnahmen wirken, können wir aber vermutlich frühestens in ein bis zwei Wochen beurteilen. Der Politik muss die Zeit gegeben werden, den Erfolg der Maßnahmen zu evaluieren. Die Strategie, der Ansteckungsdynamik durch eine konsequente Verringerung der sozialen Kontakte die Spitze zu brechen, sollte nicht durch Frustration über die ausbleibende Wirkung dieser Maßnahme infrage gestellt werden, noch bevor sich diese Wirkung überhaupt erst in den Daten zeigen kann.

Die Fallstricke von Ländervergleichen

Alle Nationen verfolgen im Umgang mit der Covid-19-Pandemie mehr oder weniger ihre eigene Strategie. Deshalb ist der internationale Vergleich im Prinzip eine hervorragende Grundlage, um wirksame Strategien zu identifizieren. Doch dazu reicht es nicht aus, die Entwicklung in Deutschland derjenigen in anderen Ländern einfach gegenüberzustellen. Denn die Entwicklungen in verschiedenen Ländern lassen sich nur bedingt vergleichen. Insbesondere hängen die erfassten Fallzahlen in jedem Land zentral davon ab, wie systematisch und umfangreich dort auf das Virus getestet wird. Ebenso hängt die nachgewiesene Ausbreitung des Virus aufgrund der geschilderten exponentiellen Natur des Fallwachstums sehr stark davon ab, wann die erste Person in einem Land infiziert wurde und wann eine Regierung Maßnahmen eingeführt hat – und nicht allein von den Maßnahmen selbst.

Darüber hinaus wird in vielen Ländervergleichen immer wieder auf das Verhältnis der Todesfälle zu den zum jeweiligen Zeitpunkt bestätigt Infizierten verwiesen. Es werden die kumulierten Todesfälle durch die kumulierten bestätigten Fälle geteilt, um die Letalität von Covid-19 zu berechnen. Mit diesem Vorgehen wird jedoch die Tödlichkeit von Covid-19 unterschätzt, weil eine falsche Vergleichsgruppe verwendet wird. Sinnvoll wäre, die bestätigten Fälle der infizierten Kohorte, aus der die mutmaßlichen Todesfälle stammen, als Vergleichsgruppe zu wählen. Der Abgleich der Zeitreihen von bestätigten Infektionen und Todesfällen aus China und Deutschland lässt den Schluss zu, dass etwa elf Tage Verzug das stabilste Verhältnis liefern. Es ist daher am plausibelsten, den Anteil der Todesfälle an der Zahl der bestätigten Fälle elf Tage zuvor zu berechnen.

Wird allerdings die Dunkelziffer nicht berücksichtigt, dann wird der Nenner der Verhältnisgröße zu klein und damit die geschätzte Letalität systematisch überschätzt. Darüber hinaus variiert die statistische Erfassung der Todesursachen von Land zu Land erheblich. Es ist schwer festzustellen, ob eine Person mit dem Virus oder durch das Virus gestorben ist. Wenn man, wie in vielen Ländern, bei Verstorbenen mit chronischen Krankheiten und im fortgeschrittenen Alter nachträglich eine Infektion mit Sars-CoV-2 feststellt, kann das zu einer Überschätzung der Todesrate führen. Insgesamt muss man festhalten, dass eine präzise Schätzung der Sterblichkeit zum derzeitigen Zeitpunkt nahezu unmöglich ist.

Allerdings gibt es ein natürliches Experiment, das Kreuzfahrtschiff Diamond Princess, bei dem von einer vollständigen Erfassung der Infizierten auszugehen ist, weil alle Passagiere getestet wurden. Zwar ist die Besatzung eines Kreuzfahrschiffs älter als die Durchschnittsbevölkerung, aber diese Altersverschiebung können Statistiker zumindest näherungsweise herausrechnen. Aus den Daten der Diamond Princess ergibt sich nach einer solchen Altersstandardisierung dann eine Sterblichkeit von ungefähr 0,5 Prozent – mit einer Unsicherheit, die etwa bei 50 Prozent liegt.

Fahren auf Sicht

Die zur Covid-19-Pandemie bislang vorliegenden Erkenntnisse sind nicht ausreichend, um deren weitere Verbreitung verlässlich zu prognostizieren. Man sollte die Entwicklung der Pandemie zweifelsohne weiter detailliert verfolgen, jedoch ohne sich von Einzelinformationen zu sehr beeindrucken zu lassen. Weil die Ausbreitung des Virus exponentiell geschieht, ist es vermutlich der beste Hinweis, dass sie die Pandemie abschwächt, wenn sich die Zuwachsraten an mehreren Tagen hintereinander verringern.

Im Augenblick gilt trotzdem das Prinzip, sich beim Fahren auf Sicht durch die skizzierten Modellrechnungen leiten zu lassen. Denn trotz der Fülle an Faktoren, die eine verlässliche Prognose der künftigen Verbreitung verhindern, zeigen Simulationsstudien eines sehr klar: Das deutsche Gesundheitssystem würde innerhalb weniger Tage vollständig kollabieren, würde die Reproduktionsrate nicht rasch – indem Menschen soziale Kontakte meiden – auf einen Wert von 1 reduziert werden. Dabei sollte man nicht jeden Tag panisch neu bewerten, ob die Maßnahmen wirken oder nicht. Ob die jetzt geltenden Regeln etwas verändert haben, wird sich frühestens in ein bis zwei Wochen zeigen.

Der Verzögerung der Ausbreitung des Virus kann dem Gesundheitssystem dann hoffentlich die Zeit verschaffen, notwendige Kapazitäten zur Behandlung schwerer Fälle auszubauen und – mit etwas längerer Perspektive – zu Medikamenten und einem möglichen Impfstoff zu forschen. Vor allem ließe sich dadurch Zeit gewinnen, die Kapazitäten aufzubauen, um eine Vielzahl von Personen schnell und wiederholt zu testen. Dies würde die Möglichkeit eröffnen, stufenweise zu einem einigermaßen normalen Leben zurückzukehren und damit die negativen sozialen und wirtschaftlichen Konsequenzen dieser Pandemie einigermaßen zu begrenzen.

Hoch